Точка М – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD, а МС = МD. Докажите, что трапеция АВСD прямоугольная.

Решение:

    М – середина боковой стороны, проведём среднюю линию MN трапеции АВСD:

По условию MC = MD, значит ΔСМD – равнобедренный. Точка N – середина CD, CN = DN, тогда MN в равнобедренном ΔСМD, является медианой, а значит биссектрисой и высотой. Тогда ∠MNC = 90°, прямой.
    ∠MNC = ∠ADC = 90°, как соответственные при MN||AD и секущей CD. Если один угол в трапеции прямой, значит она прямоугольная.
    Что и требовалось доказать.