Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 18, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.

Решение:

Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Нужно найти длину диаметра AD:

 Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°:

∠С + ∠А = 180°
93° + ∠А = 180°
∠А = 180° – 93° = 87°

    ΔBMA – равнобедренный, т.к. МА = МВ, как радисы, значит углы при основании АВ равны:

∠А = ∠АВМ = 87°

    Найдём ∠МВС:

∠МВС = ∠В – ∠АВМ = 132° – 87° = 45°

    ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радиусы, значит углы при основании ВС равны:

∠МВС = ∠МСВ = 45°

    Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:

∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 45° – 45° = 90°

    В ΔBMС по теореме синусов, найдём MB – радиус окружности:

 Найдём AD:

AD = 2·R = 2·9√2 = 18√2

Ответ: 182182​