Окружности с центрами в точках R и S не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как с : d. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении с : d.

Решение:

    KH – внутренняя общая касательная к окружностям с центрами в точках R и S. RS – отрезок соединяющий центры окружностей. 
    Проведём радиусы окружностей к касательной, по свойству касательной, они будут перпендикулярны:

Окружности с центрами в точках R и S не имеют общих точек

 Рассмотрим два прямоугольных ΔRKO и ΔSHO, которые подобны по двум углам (∠ROK = ∠HOS – как вертикальные, ∠RKO = ∠SHO – прямые). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:

 Что и требовалось доказать.