Окружности с центрами в точках Р и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.
Решение:
KH – внутренняя общая касательная к окружностям с центрами в точках P и Q. PQ – отрезок соединяющий центры окружностей.
Проведём радиусы окружностей к касательной, по свойству касательной, они будут перпендикулярны:
Рассмотрим два прямоугольных ΔPKO и ΔQHO, которые подобны по двум углам (∠POK = ∠HOQ – как вертикальные, ∠PKO = ∠QHO – прямые). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:
Диаметры окружностей равны (в два раза больше радиусов):
d1 = 2·PK
d2 = 2·HQ
Найдём их отношение:
Что и требовалось доказать
