На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.
Решение:
Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:
10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1
У змейки каждое звено повторяется два раза:
2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)
Тогда для змейки с первым звеном 170 длина ломаной находится:
2·(170 + 169 + 168 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
Тогда для змейки с первым звеном 170 длина ломаной находится:
2·(170 + 169 + 168 + … + 1)
В скобках получаем арифметическую прогрессию:
Тогда длина ломанной равна:
2·(170 + 169 + 168 + … + 1) = 2·S170 = 2·14535 = 29070
Ответ: 29070
