В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение:

    Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

https://post-images.org/photo-page.php?photo=z45hBV3i

Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: 

AB = СD

    Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

    Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD = 160
2AB + 2AB = 160
4AB = 160
AB = 160/4 = 40
CD = 40

    Площадь трапеции равна 1280:

  В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

   Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 16 + 2·24 = 64

    Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 32 – х.
    ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей. 
    Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

Ответ: 6,4