В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение:

    Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

 Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: 

AB = СD

    Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

    Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD =20
2AB + 2AB = 20
4AB = 20
AB = 20/4 = 5
CD = 5

    Площадь трапеции равна 20:

Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 2 + 2·3 = 8

    Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 4 – х.
    ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей. 
    Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

Ответ: 0,8